< Предыдущая 1 ... 10 11 12 13 14 15 Следующая > 

Нормальное распределение

Решения задач с 8559 по 8611

Задача 8559. Средний объем ампул равен 1,2 см³, среднее квадратическое отклонение – 0,15. Считая, что объем ампул подчиняется закону нормального распределения, требуется:
найти дифференциальную функцию распределения случайной величины;
найти значения f(x) в точках x1=0,75; x2=0,9; x3=1,05; x4=1,2; x5=1,35; x6=1,5. Построить график плотности распределения вероятностей.
Найти вероятность того, что объем ампул будет заключен в пределах от 0,8 до 1,4 см³;
С какой вероятностью можно гарантировать, что отклонение объема ампулы от среднего значения будет не более 0,2 см³.
Найти диапазон изменения данной случайной величины.

Задача 8560. Рост студентов в рассматриваемой совокупности их является нормально случайно распределенной величиной с M(X)=175 см и σ=2,6 см. Для этой случайной величины требуется:
найти дифференциальную функцию распределения случайной величины;
найти значения f(x) в точках x1=167,2; x2=169,8; x3=172,4; x4=175; x5=177,6; x6=180,2. Построить график плотности распределения вероятностей.
Определить процент студентов, у которых рост заключен в пределах от 160 до 178 см;
Определить, с какой вероятностью можно гарантировать, что предельное отклонение роста студентов от математического ожидания будет равно 4 см.
Найти диапазон изменения данной случайной величины.

Задача 8561. Урожайность озимой пшеницы по совокупности участков распределяется по нормальному закону с параметрами a=50 ц/га, σ=10 ц/га. Определить какой процент участков с урожайностью от 45 до 60 ц/га.

Задача 8562. На молочной ферме испытывали эффективность кормов. При скармливании смеси №1 получили средний удой a=12 л, σ=5 л. Считая удой коров случайной величиной подчиняющейся нормальному закону распределения требуется:
а) найти дифференциальную функцию распределения, построить ее график;
б) определить процент коров, у которых надои заключены в пределах от c=4 до d=7 литров;
в) определить, с какой вероятностью можно гарантировать, что предельное отклонение удоев на ферме от математического ожидания будет: 1) не более e=5 л; 2) более e=5 л;
г) найти какое предельное отклонение в ту или другую сторону от среднего значения можно гарантировать с вероятностью δ=0,95;
д) определить весь диапазон изменения удоев на ферме.

Задача 8563. Длина детали представляет собой нормальную случайную величину с математическим ожиданием 40 мм и среднеквадратичным отклонением 3 мм. Найти: а) Вероятность того, что длина взятой наугад детали будет больше 34 мм и меньше 43 мм; б) Вероятность того, что длина взятой наугад детали отклонится от ее математического ожидания не более, чем на 1,5 мм.

Задача 8564. Длина роста взрослой женщины случайная величина, заданная нормальным распределением, с a= 164 см и σ=5 см. Найти:
1. Плотность распределения;
2. Вероятность попадания в интервал $P(165 \lt x \lt 168)$.

Задача 8565. Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 48 у.е., и стандартным отклонением, равным 6. Определите вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена была выше 40 за акцию.

Задача 8566. Какое наибольшее расстояние допустимо между двумя судами, идущими параллельными курсами, чтобы вероятность обнаружения косяка рыбы, находящегося посередине между ними, была не менее 0.5?
Дальность обнаружения для каждого из судов является независимой нормально распределенной случайной величиной с m = 3.7 км и σ = 1.1 км.

Задача 8567. Длина выпускаемой детали ξ – случайная величина, которая имеет нормальное распределение. Известно, что 50% всех изделий имеют длину больше 2 сантиметров и 97,5% всех изделий имеют длину меньше трех сантиметров. Записать формулу для плотности распределения случайной величины ξ и построить ее график. Какова вероятность, что случайно выбранное изделие будет иметь длину от одного до трех сантиметров.

Задача 8568. Ошибка высотомера распределена нормально с математическим ожиданием 20 мм и средним квадратическим отклонением 10 мм.
а) Найти вероятность того, что отклонение ошибки от среднего ее значения не превзойдет 5 мм по абсолютной величине.
б) Какова вероятность, что из 3 измерений одно попадёт в указанный интервал, а 2 – не попадут?
в) Сформулируйте правило трех сигм для данной случайной величины и изобразите схематично функции плотности вероятностей и распределения.

Задача 8569. Средний рост взрослых некоторого национального округа равен 167,3 см, σ = 5,8 см. Каков общий процент женщин ростом, не превышающим 170 см.

Задача 8570. Длина стебля полевого колокольчика распределена нормально с математическим ожиданием 60 см и средним квадратическим отклонением 10 см. Найти вероятность того, что в букете из 30 колокольчиков попадется хотя бы один со стеблем длиной более 1 метра.

Задача 8571. В условиях задачи 16.6 предположим, что $\mathit{{\sigma}}$ не задано, зато известно, что в среднем отбраковывается 6% шариков. Какова вероятность того, что диаметр наугад выбранного шарика будет заключен в пределах от 4,98 мм до 5,02 мм.

Задача 8572. Прибор, контролирующий напряжение, имеет случайную ошибку в показаниях, распределенную по нормальному закону. Систематическая ошибка отсутствует. Случайная ошибка по абсолютной величине не превосходит 15В с вероятностью 0,8. Найти среднюю квадратическую ошибку.

Задача 8573.
Изделие считается высшего качества, если отклонение его размеров от номинала не превосходит по абсолютной величине 3,45 мм. Случайные отклонения размера изделия от номинала подчиняются нормальному закону со средним квадратичным отклонением 3 мм. Систематические ошибки отсутствуют. Определить среднее число изделий высшего качества, если изготовлено 4 изделия.

Задача 8574. Случайные ошибки измерения тремя измерительными приборами подчиняются нормальному закону с параметрами: ${\mathit{m}}_{1}=0, {\mathit{{\sigma}}}_{1}=1$ мкм, ${\mathit{m}}_{2}=0, {\mathit{{\sigma}}}_{2}=2$ мкм, ${\mathit{m}}_{3}=0, {\mathit{{\sigma}}}_{3}=3$ мкм. Найти вероятность того, что из трех независимых измерений хотя бы в одном из них ошибка измерения не превзойдет по абсолютной величине 1,5мкм.

Задача 8575. Поезд состоит из 10 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием $\mathit{m}=64$ т и средним квадратичным отклонением $\mathit{{\sigma}}=1$ т. Локомотив может везти состав массой не более 660 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.

Задача 8576. Чистый вес (вес содержимого) контейнеров определенного размера - нормально распределённая случайная величина со среднеквадратическим отклонением 0,5 т. Известно, что 65% контейнеров имеют чистый вес больше, чем 4,9 т. Найдите среднее значение чистого веса контейнера.

Задача 8577.
Пачки чая упаковывают автоматически. Масса одной пачки чая распределена по нормальному закону со средним значением веса 200 граммов и средним квадратическим отклонением 5 граммов. Определите вероятность того, что вес случайно выбранной пачки чая отличается от среднего веса по абсолютной величине не более чем на 5 граммов.

Задача 8578. Срок службы энергосберегающей лампы является случайной величиной $\mathit{X}$ и подчинен нормальному закону распределения. Ее средний срок службы равен 15000 часов, а среднее квадратическое отклонение равно 1000 часов. Какова вероятность того, что лампа проработает от 14000 до 17000 часов?

Задача 8579. Вес тропического грейпфрута - нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 0.04. Агрономы знают, что 65% фруктов весят меньше, чем 0.5 кг. Найдите ожидаемый вес случайно выбранного грейпфрута.

Задача 8580. Максимальное значение плотности вероятности случайной величины $\mathit{X}$, подчиненной нормальному закону распределения, равно $1/4\sqrt{\mathit{{\pi}}}$. Найдите среднее квадратическое отклонение и дисперсию этой случайной величины.

Задача 8581. Считая рост взрослых мужчин случайной величиной $\mathit{X}$, распределенной по нормальному закону: $\mathit{X}{\sim}\mathit{N}(175;10)$, найти плотность вероятностей, функцию распределения. Определить вероятность того, что ни один из 3 наудачу выбранных мужчин не будет иметь рост менее 180см.

Задача 8583. Цена некой ценной бумаги нормально распределена. В течение последнего года 20% рабочих дней она была ниже 88 у. е., а 75% - выше 90 у. е. Найти: а) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение цены ценной бумаги; б) вероятность того, что в день покупки цена будет заключена в пределах от 83 до 96 у. е.

Задача 8584.
20%-ная точка нормально распределенной случайной величины равна 50, а 40%-ная точка равна 35. Найти вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале (25;45).

Задача 8585. $$
Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. Случайная величина $\mathit{{\xi}}$ - масса коробки распределена по нормальному закону. Средняя масса коробок равна 1 кг. Фактическая масса коробок не менее 960 и не более 1040 грамм. Какова вероятность того, что масса двух наудачу выбранных коробок превышает 980 г? Запишите формулу для плотности распределения случайной величины $\mathit{{\xi}}$ и постройте ее график.

Задача 8586.
Ошибка прогноза температуры воздуха есть случайная величина с $\mathit{m}=0, \mathit{{\sigma}}=2°.$ Найти вероятность того, что в течении недели ошибка прогноза трижды превысит по абсолютной величине $4°$.

Задача 8587. Номинальное значение сопротивления резистора равно $\mathit{M}\mathit{X}=110$ кОм. Среднее квадратическое отклонение равно ${\mathit{{\sigma}}}_{\mathit{x}}=10$ кОм. Какой процент от общего количества резисторов при массовом производстве имеет сопротивление $\mathit{X}$, отличающееся от номинала по модулю не более, чем на 8% номинала? Предполагается, что случайная величина $\mathit{X}$ распределена нормально.

Задача 8588.
Производится 2 независимых выстрела в мишень. Рассеивание точек попадания в горизонтальной плоскости имеет нормальный закон распределения и определяется систематической ошибкой +10 м и ${\mathit{{\sigma}}}_{\mathit{x}}=29.7 $м. Какова вероятность, что горизонтальные отклонения точек попадания от центра мишени будут иметь разные знаки, а по абсолютной величине превзойдут 10 м?

Задача 8589. Компания А покупает у компании В детали к контрольным приборам. Каждая деталь имеет точно установленное значение размера. Деталь, размер которой отличается от установленного размера более чем на $±25$ мм, считается дефектной. Компания А требует от компании В, чтобы доля брака не превышала 1% деталей. Если компания В выполнит требование компании А, то каким должно быть допустимое максимальное стандартное отклонение размеров деталей? Учесть, что размер деталей есть случайная величина, распределенная по нормальному закону.

Задача 8590. Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 48 у. е., и стандартным отклонением, равным 6. Определите вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию была: а) более 60 у. е.; б) выше 40 за акцию; в) между 40 и 50 у. е. за акцию.

Задача 8591. Орудие пристреляно по некоторой цели. Выяснилось, что точки попадания снаряда подчиняются нормальному закону $\mathit{N}(\mathit{m},\mathit{{\sigma}})$.
Найти вероятность того, что точка попадания очередного снаряда будет в интервале $\left[7435;7784\right]$.
Определить границы интервала, куда попадают 71% всех снарядов.
$\mathit{m}=7620, \mathit{{\sigma}}=85$

Задача 8592.
Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов - нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением $\mathit{{\sigma}}=560$ и неизвестным математическим ожиданием. В 90% случаев число ежемесячных заказов превышает 12439. Найдите ожидаемое среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.

Задача 8593.
При производстве безалкогольных напитков специальный аппарат разливает определенное число унций (1 унция = 28,3 г) напитка в стандартную ёмкость. Число разлитых унций подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием, зависящим от настройки аппарата. Количество унций напитка, разлитых отдельным аппаратом, имеет стандартное отклонение $\mathit{{\sigma}}=0.4$ унции. Пусть ёмкости объёмом в 8 унций наполняются кока-колой. Сколько унций напитка должен в среднем разливать аппарат, чтобы не более 3% ёмкостей оказались переполненными?

Задача 8594.
Пусть $\mathit{X}$ – стандартная нормальная величина. Определить отрезок единичной длины, вероятность попадания в который наибольшая.

Задача 8595. Биржевая стоимость акции описывается нормальным законом распределения со средним значением 20 условных единиц и дисперсией 4. Найти вероятности следующих событий: $\mathit{P}\left(\mathit{X}<17\right), \mathit{P}\left(15<\mathit{X}<18\right), \mathit{P}\left(\mathit{X}>23\right)$.

Задача 8597. Месячный доход семей в регионе можно рассматривать как случайную величину, имеющую нормальное распределение с параметрами $\mathit{{\mu}}=20$ и $\mathit{{\sigma}}=5$ (тыс. руб.).
Определить: 1) интервал, содержащий практически все возможные значения месячного дохода семьи; 2) долю семей, месячный доход которых превышает 30 тыс. руб.

Задача 8598. Ежемесячный доход жителей некоторого региона имеет нормальное распределение со средним 350 у.е. и стандартным отклонением 80 у.е. Мистер Паркер входит в группу 10% жителей региона, имеющих наименьший доход. Какова верхняя граница дохода мистера Паркера?

Задача 8599. Владелец пункта проката видеофильмов считает, что расходы его постоянных клиентов на прокат за год нормально распределены со средним 100 у.е. Он также заметил, что 10% его клиентов тратят на прокат фильмов более 130 у.е. в год. Какая доля клиентов тратит на прокат фильмов в год более 140 у.е.?

Задача 8600. Деталь изготавливается на станке. Ее размер представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону со средним 20 см и дисперсией 0,2 см². Какую относительную точность изделия можно гарантировать с вероятностью 0,95?

Задача 8601. Ошибки измерения дальности радиолокатором распределены нормально. Сколько необходимо провести измерений, чтобы с вероятностью 0,9 ошибка хотя бы одного из них не превосходила 5 м, если локатор имееет серединную ошибку 25 м.

Задача 8602. Найти вероятность того, что случайная величина $\xi$, подчиненная нормальному закону распределения, в серии из трех испытаний хотя бы один раз примет значение в интервале (1.2, 2), если ее математическое ожидание $M[\xi] = 1.2$, а среднее квадратичное отклонение $\sqrt{D[\xi]}=0.4$.

Задача 8603. Номинальный размер детали – 50 мм, технический допуск (0,3 мм. Дисперсия (точность) станка, на котором получают данный размер равна 0,01 мм2. Считая, что закон распределения размера нормальный, определить среднее значение и среднее квадратическое отклонение числа дефектных изделий в партии из 10000 изделий.

Задача 8604. Рассеивание скорости снаряда подчинено нормальному распределению. Найти среднее квадратическое отклонение σ рассеивания, если с вероятностью 0,996 оно не превосходит по абсолютной величине 5 м/с. Систематическая ошибка отсутствует.

Задача 8605. Вес тропического грейпфрута – нормально распределения случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 0,09. Агрономы знают, что 65% фруктов весят меньше, чем 0,5 кг. Найдите ожидаемый вес случайно выбранного грейпфрута.

Задача 8606. Размер детали подчинен норм.закону с параметрами a = 30, σ = 5. Детали считаются годными, если размер от 20 до 40. Если размер больше 40, то деталь подлежит переделке. Найти среднее число деталей, подлежащих переделке, из произведенных n = 1000.

Задача 8607. Автомат изготавливает шарики. Диаметр шарика подчинен нормальному закону. Известно, что в среднем у 92% шариков абсолютное отклонение диаметра от расчетного меньше 0.7. Найти число шариков, у которых это отклонение будет меньше 1.08, если изготовлено n = 1000.

Задача 8608. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) a = 125 мм. Фактическая длина изготовленных деталей 122,4 < X < 127,6. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали меньше 123,4 мм. Какое отклонение длины детали от "a" можно гарантировать с вероятностью 0,98.

Задача 8610. Годовое потребление угля некоторым предприятием является нормальной случайной величиной с математическим ожиданием 327 т и с.к.о. 18 т. Сколько угля надо запасти, чтобы с вероятностью 0,95 его хватило бы на год? Если запасено 370 т, то с какой вероятностью этого хватит?

Задача 8611. Рост лиц призывного возраста предполагается нормально распределенным с параметрами: математическое ожидание равно 172 см, а среднее квадратическое отклонение равно 6 см. Определить процент лиц, рост которых: а) ниже 165; б) выше 175 см.

< Предыдущая 1 ... 10 11 12 13 14 15 Следующая > 

* Конечная стоимость зависит от комиссии выбранного вами варианта оплаты и будет указана перед оплатой.