< Предыдущая 1 ... 42 43 44 45 46 47 Следующая > 

События. Теоремы сложения и умножения

Решения задач с 23297 по 23352

Задача 23297.
Правильная шестигранная игральная кость подбрасывается 11 раз. Каковы вероятности событий $\mathit{A}$={Всякий раз выпадала шестёрка}, $\mathit{B}$={Первые четыре раза выпала пятёрка}?

Задача 23298. Группа, состоящая из трех истребителей-бомбардировщиков, атакует цель, прикрытую объектовой ПВО. Вероятность ${\mathit{W}}_{пво}$ преодоления зоны ПВО каждым самолетом зависит от численности группы $\mathit{n}$ и оценивается выражением ${\mathit{W}}_{пво}={\exp}\left(-\frac{1.5}{\mathit{n}}\right)$. Каждый самолет независимо от других поражает цель с вероятностью ${\mathit{P}}_{1}=0.60$. Определить вероятности следующих событий:
$\mathit{A}$ - группа истребителей-бомбардировщиков выполнит боевую задачу по поражению цели;
$В$ - все самолеты вернутся на аэродром вылета (на обратном пути самолеты вновь подвергаются воздействию ПВО).

Задача 23299. Поиск некоторой неисправности состоит из ряда последовательных попыток. В первой попытке неисправность может быть обнаружена с вероятностью ${\mathit{P}}_{1}=0.30$, во второй - с вероятностью ${\mathit{P}}_{2}=0.50$ (если она не была обнаружена в первой попытке), в третьей - с вероятностью ${\mathit{P}}_{3}=0.40$ (в случае неудачи во второй попытке). Определить вероятности следующих событий:
$\mathit{C}$ - для обнаружения неисправности потребуется не более трех попыток;
$\mathit{D}$ - неисправность будет обнаружена с третьей попытки.

Задача 23300. Группа самолетов, состоящая из четырех штурмовиков, выходит на цель за ведущим и атакует ее. После обнаружения цели ведущим с вероятностью ${\mathit{P}}_{1}=0.60$, каждый самолет (в том числе ведущий) атакует цель независимо от других и поражает ее с вероятностью ${\mathit{P}}_{2}=0.50$. Определить вероятности следующих событий:
$\mathit{A} $- выполнение боевой задачи группой самолетов;
$\mathit{B}$ - выполнение боевой задачи группой самолетов в случае, если каждый самолет группы ведет независимый поиск цели, обнаруживает ее с вероятностью ${\mathit{P}}_{3}=0.60$ и при обнаружении цели наводит на нее всю группу.

Задача 23301. Для поражения цели направляется группа, состоящая из четырех самолетов. Два из них пилотируют лётчики первого класса, а два остальных - лётчики второго класса. В районе цели с учетом метеосводок за длительный период наблюдений в 30% случаев - простые метеоусловия (ПМУ), а в оставшихся 70% случаев возможны сложные метеоусловия (СМУ).
Лётчик первого класса поражает цель в ПМУ с вероятностью ${\mathit{P}}_{1}=0.80$, в СМУ - с вероятностью ${\mathit{P}}_{2}=0.60$. Лётчик второго класса поражает цель в ПМУ с вероятностью ${\mathit{P}}_{3}=0.70$, в сложных - с вероятностью ${\mathit{P}}_{4}=0.50$.
Определить вероятности следующих исходов:
$\mathit{A}$- все летчики поразят цель;
$\mathit{B}$ - цель поразят только летчики второго класса.

Задача 23303. Если вероятность успеха в отдельном испытании схемы Бернулли равна $\mathit{p}$, то найти вероятность того, что -й по порядку успех произойдет в $\mathit{n}$-м испытании ($\mathit{n}{\geq}\mathit{k}$).

Задача 23304.
Два из трех независимо работающих элементов суперкомпьютера отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,01, 0,04 и 0,05.

Задача 23307. Из партии деталей, среди которых $\mathit{N} $стандартных и $\mathit{M}$ бракованных, для контроля случайно взято $\mathit{S}$ штук. При контроле оказалось, что первые $\mathit{K}$ деталей из $\mathit{S}$ оказались стандартными. Определить вероятность того, что следующая деталь будет стандартной.

Задача 23308. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле у первого стрелка равна 0.7, у второго - 0.8. Найти вероятность того, что в мишень попадет только один стрелок.

Задача 23309. В урне 4 белых, 6 черных и 7 красных шаров. Из урны вынимают один за другим все находящиеся в ней шары и записывают их цвета. Найти вероятность того, что в этом списке:
1) красный цвет появится раньше черного;2) вторым по порядку будет записан белый цвет.

Задача 23310. Студент знает 60 из 80 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит два вопроса. Найти вероятность того, что:
1) студент будет знать хотя бы один вопрос экзаменационного билета;2) что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на оба вопроса своего билета или на один вопрос из своего билета и на один (по выбору преподавателя) вопрос из дополнительного билета.

Задача 23311. Из колоды 52 карт вынимаются наудачу две карты. Какова вероятность того, что вынуты фигуры или пики? Какова вероятность того, что вынуты фигуры и пики? Какова вероятность того, что вынуты 2 фигуры или 2 пики?

Задача 23312.
В урне содержатся 10 шариков, 1 с номером 1 на нем, 2 с номером 2, 3 с номером 3 и 4 с номером 4. Два шарика вытянули рандомно из 10 ( все исходы равновероятны). Какова вероятность, что сумма чисел на двух шарах будет больше 5, если на обоих шарах одинаковые номера?

Задача 23313.
В урне содержатся 5 жёлтых, 5 голубых и 5 зелёных шариков. Рандомно вытащили один шарик без замены (видимо, имеется в виду, без возвращения). Далее половина шаров такого же цвета, как ранее вытащенный шар, была вытащена. Таким образом, в урне осталось только 2 шара этого цвета. Если после этого выберут другой шар рандомно среди 12 шаров, оставшихся в урне, какова вероятность, что ни один из выбранных шаров не голубой.

Задача 23314. Три ракеты запущены в различные цели. Известно, что ракета $\mathit{k}$ достигнет этой цели с вероятностью $\frac{\mathit{k}}{\mathit{k}+1}$ вне зависимости от того, достигнут ли цели другие ракеты ($\mathit{k}=1, 2, 3$). Известно, что две из трёх ракет достигнут своей цели, какова вероятность что третья ракета пропустит свою цель.

Задача 23315. Буквы английского алфавита (26 букв), A, B, C, …, Y, Z случайным образом расставили слева направо. ${\mathit{E}}_{1}$ - событие, состоящее в том, что А находится слева от С, ${\mathit{E}}_{2}$ - событие, состоящее в том, что В находится слева от С. Используя определение независимых событий, покажите, что ${\mathit{E}}_{1}$ и ${\mathit{E}}_{2}$ независимы или зависимы (установите, равняется ли вероятность пересечения событий произведению их вероятностей).

Задача 23316.
Двое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у которого раньше появится герб. Определить вероятность выигрыша каждого из игроков.

Задача 23317. Монетка будет подбрасываться, пока не выпадет орел. Какова вероятность того, что для этого понадобится четное число бросков?

Задача 23319. В футбольном матче вероятность того, что команда А забьёт гол команде В, составляет 0,72. Вероятность того, что команда В забьёт гол команде А, составляет 0,64. Какова вероятность наступления событий:
а) обе команды забьют по голу в этом матче;
б) одна из двух команд не сможет забить гол в этом матче?

Задача 23320.
Монета бросается 3 раза. Какова вероятность того, что все 3 раза выпадет «решка»?

Задача 23321.
На сортировочную горку поступают товарные, почтовые, пассажирские и багажные вагоны с вероятностью соответственно 0,3; 0,2; 0,4 и 0,1. Какова вероятность того, что на сортировочную горку поступит какой либо вагон из товарных или почтовых или пассажирских?

Задача 23322.
Несколько раз бросают игральную кость. Какова вероятность того, что шесть очков появятся впервые при шестом бросании?

Задача 23324. Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно равны ${\mathit{p}}_{1}=0.6, {\mathit{p}}_{2}=0.5, {\mathit{p}}_{3}=0.4$.

Задача 23325. Подбрасываются три игральные кости. Событие $\mathit{A}$ состоит в том, что одинаковое число очков выпало на первой и второй костях, событие $\mathit{B}$ - одинаковое число очков на второй и третьей костях, $\mathit{C}$ - на первой и третьей. Будут ли события $\mathit{A}, \mathit{B}$ и $\mathit{C}$ : a) попарно независимы; б) независимы в совокупности?

Задача 23326. В последовательности из $\mathit{n}$ независимых испытаний с вероятностью успеха $\mathit{p}$ в отдельном испытании произошел ровно один успех. Какова вероятность того, что успех произошел на втором испытании?

Задача 23327. Для некоторой местности в июле шесть пасмурных дней. Найти вероятность того, что:
а) первого и второго июля будет ясная погода;
б) первого и второго июня будет ясная погода, а третьего июня - пасмурная.

Задача 23328. Вероятности выигрышей двух игроков равны соответственно 0.6 и 0.8, вероятность их одновременного выигрыша равна 0.5. Найти вероятности выигрышей:
А) по крайней мере у одного игрока; Б) только первого игрока; Г) ни у одного из игроков.

Задача 23329. Два баскетболиста по очереди бросают мяч в корзину до первого попадания. Выигрывает тот, кто первый забросит мяч. События: ${\mathit{A}}_{\mathit{k}}$ - первый попадает при -м броске, ${\mathit{B}}_{\mathit{j}}$ - второй попадает при $\mathit{j}$-м броске. Выразить через ${\mathit{A}}_{\mathit{k}}$ и ${\mathit{B}}_{\mathit{j}}$ событие $\mathit{A}$ - выиграет первый.

Задача 23330. Монета подбрасывается три раза подряд. Постройте пространство ${\Omega}$ элементарных исходов. Опишите событие $\mathit{A}$, состоящее в том, что выпало не менее двух гербов.

Задача 23331.
Рабочий изготовил $\mathit{n}$ деталей. Пусть событие ${\mathit{A}}_{\mathit{i}}$ состоит в том, что -я изготовленная им деталь имеет дефект. Запишите событие, заключающееся в том, что:
а) ни одна из деталей не имеет дефектов;
б) хотя бы одна деталь имеет дефект;
в) ровно одна деталь имеет дефект;
г) не более двух деталей имеют дефекты;
д) по крайней мере две детали не имеют дефектов;
е) точно две детали дефектны.

Задача 23332.
Вероятности некачественного ремонта электрических схем локомотива 0,04, механической части - 0,13. Локомотив выходит из ремонта. Каковы вероятности событий ${\mathit{E}}_{1}$ = {оба вида дефектов присутствуют}, ${\mathit{E}}_{2}$ = {присутствует только один вид дефектов}, ${\mathit{E}}_{3}$ = {оба вида дефектов отсутствуют}?

Задача 23333.
Два стрелка выстрелили (независимо) по разу в мишень. Вероятность попадания для одного из стрелков равна 0,6; а для другого – 0,7. Найти вероятность того, что оба стрелка попадут в цель.

Задача 23334.
Рассматриваются следующие события: $\mathit{A}=$ {в магазине продаются яблоки}; $\mathit{B}=$ {в магазине продаются груши}. Что означают события $\mathit{A}+\mathit{B}, \mathit{A}{\cdot}\mathit{B}, \mathit{A}-\mathit{B}$.

Задача 23335.
Рассматривается событие $\mathit{A}=$ {не менее 3 арбузов из 15 - хорошие}. Опишите $\overline{\mathit{A}}$.

Задача 23336.
Рассмотрим следующее утверждение: «все коровы белые». Его отрицание -«если объект не белого цвета, то это не корова». Если нам попалась белая корова, то это, естественно, не противоречит утверждению. Далее предположим, например, что нам попалась черная ворона. Это также не противоречит основной гипотезе. Вопрос в том, как эти события влияют на правдоподобие гипотезы о том, что все коровы белого цвета. Рассмотрим следующую вероятностную модель и две конкурирующие гипотезы. Гипотеза ${\mathit{H}}_{\mathit{w}}$ заключается в том, что все коровы белые, т.е. вероятность того, что случайная корова белая равна 1. Гипотеза ${\mathit{H}}_{\mathit{b}}$ - белых коров 50% (соответствующая вероятность - 1/2). Предположим, что все вороны, действительно, черные. Также считаем, что нам попадаются коровы с вероятностью 0.6, а вороны с 0.4, независимо от того, какая из гипотез верна. Рассмотрим события: $\mathit{A}$ - наблюдаем черную ворону, $\mathit{B}$ - наблюдаем белую корову. Сравнить $\mathit{P}\left({\mathit{H}}_{\mathit{w}}|\mathit{A}\right)$ и $\mathit{P}\left({\mathit{H}}_{\mathit{w}}|\mathit{B}\right)$ с априорной вероятностью $\mathit{p}=\mathit{P}\left({\mathit{H}}_{\mathit{w}}\right)$ (т.е. понять, как эти события влияют на правдоподобие основной гипотезы).

Задача 23337. 30 % студентов института – девушки, из которых 25 % живут в общежитии, а юношей, живущих в общежитии - 40%. Найти вероятность того, что наудачу взятые студент и студентка института живут в общежитии.

Задача 23338. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии первое устройство сработает, равна 0.8; для второго и третьего устройств эти вероятности соответственно равны 0.9 и 0.8. Найти вероятность того, что при аварии сработают: а) только одно устройство; б) только два устройства; в) все тре устройства.

Задача 23339.
Из урны, в которой содержатся 10 белых шаров и 7 черных, два игрока по очереди извлекают шары. Выигрывает тот, кто первым вынет шар своего цвета (считаем, что для первого игрока – белый, для второго – черный). Найти вероятность выигрыша второго игрока, если шары извлекаются с возвращением.

Задача 23340. Последовательно бросают три монеты. Рассмотрим события $\mathit{A}$ = {выпадение «герба» на первой монете} и $\mathit{B}$ = {выпадение хотя бы одной «решётки»}. Определить, зависимы ли эти события и, если зависимы, то как?

Задача 23341. Из колоды в 36 карт вынимают 7 карт. Найти вероятность того, что среди них 4 дамы или 4 короля.

Задача 23342. Судно имеет один руль, четыре паровых котла и две турбины. Событие $\mathit{A}$ = {исправность рулевого устройства}, ${\mathit{B}}_{\mathit{j}}$ = {исправность -го парового котла} ($\mathit{j} = 1,2,3,4$), ${\mathit{C}}_{\mathit{k}}$ = {исправность $\mathit{k}$-ой турбины} ($\mathit{k}=1,2$), $\mathit{D}$ = {судно управляемое, что будет в том случае, если исправны рулевое устройство, хотя бы один котел и хотя бы одна турбина}. Выразить события $\overline{\mathit{D}}$ и $\mathit{D}$ через $\mathit{A}$, ${\mathit{B}}_{\mathit{j}}$, ${\mathit{C}}_{\mathit{k}}$.

Задача 23344.
Одновременно бросаются две монеты. Пусть событие $\mathit{A}$ есть появление герба на первой, $\mathit{B}$ - появление герба на второй, $\mathit{C}$ - появление на обеих монетах одновременно или герба или решки. Определить независимы ли события $\mathit{A}, \mathit{B}$ и $\mathit{C}$ попарно и в совокупности. (Указание: найти вероятности $\mathit{P}\left(\mathit{A}\right), \mathit{P}\left(\mathit{B}\right), \mathit{P}\left(\mathit{C}\right), \mathit{P}\left(\mathit{A}\mathit{B}\right), \mathit{P}\left(\mathit{A}\mathit{C}\right), \mathit{P}\left(\mathit{B}\mathit{C}\right), \mathit{P}\left(\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\right)$ и проверить условие независимости).

Задача 23345. Самолет состоит из трех различных по уязвимости частей. Для его вывода из строя достаточно 1-го попадания в первую часть, или 2-х попаданий во вторую, или 3-х попаданий в третью. Произошло 3 попадания. Обозначая через ${\mathit{A}}_{\mathit{i}}, {\mathit{B}}_{\mathit{i}}$ и ${\mathit{C}}_{\mathit{i}}$ попадания в каждую из трех частей при -ом выстреле ($\mathit{i}=1, 2, 3$), записать событие: самолет сбит.

Задача 23346. Вероятность передачи 1 бита без искажения равна 0.9. Передается двухбитное слово. Третий бит контролирует четность. Какова вероятность того, что слово передано верно, но поступит сигнал об ошибке?

Задача 23347. Два шарика разбрасываются случайно и независимо друг от друга по четырем ячейкам, расположенным одна за другой по прямой линии. Каждый шарик с одинаковой вероятностью 1/4 попадает в каждую ячейку. Найти вероятность того, что шарики попадут в соседние ячейки.

Задача 23348. Из полной колоды карт (52 листа) вынимают сразу две карты. Одну из них смотрят - она оказалась дамой; после этого две вынутые карты перемешивают, и одну из них берут наугад. Найти вероятность того, что она окажется тузом.

Задача 23349.
Техническая система состоит из $\mathit{n}$ блоков, надежность каждого из которых равна $\mathit{p}$. Выход из строя хотя бы одного блока влечет за собой выход из строя всей системы. С целью повышения надежности системы производится дублирование, для чего выделено еще $\mathit{n}$ таких же блоков. Надежность переключающих устройств полная. Определить, какой способ дублирования дает большую надежность системы:
а) дублирование каждого блока (рис. 2.57, а); б) дублирование всей системы (рис. 2.57, б).

Задача 23350. События ${\mathit{A}}_{1}, {\mathit{A}}_{2}, {\mathit{A}}_{3}$ независимы в совокупности. Событие ${\mathit{B}}_{1}$ заключается в том, что произойдет только событие ${\mathit{A}}_{1}$ или не произойдет ни одно из трех событий. Событие ${\mathit{B}}_{2}$ заключается в том, что не произойдет только событие ${\mathit{A}}_{3}$. Используя операции алгебры событий, выразить ${\mathit{B}}_{1}$ и ${\mathit{B}}_{2}$ через ${\mathit{A}}_{\mathit{k}}$ и найти их вероятности, если $\mathit{P}\left({\mathit{A}}_{1}\right)=0.2$, $\mathit{P}\left({\mathit{A}}_{2}\right)=0.3, \mathit{P}\left({\mathit{A}}_{3}\right)=0.4$.

Задача 23351. Известны вероятности независимых событий ${\mathit{A}}_{1}$ и ${\mathit{A}}_{2}$: $\mathit{P}\left({\mathit{A}}_{1}\right)=0.4, \mathit{P}\left({\mathit{A}}_{2}\right)=0.6$. Событие $\mathit{A}={\mathit{A}}_{1}{\cup}{\overline{\mathit{A}}}_{2}$. Найти условную вероятность $\mathit{P}\left({\overline{\mathit{A}}}_{2}|\mathit{A}\right)$.

Задача 23352.
В первом ящике 10 деталей, из них 7 стандартных. Во втором ящике 20 деталей, из них 12 стандартных. Из каждого ящика наугад взяли по одной детали. Найти вероятность того, что они обе стандартные.

< Предыдущая 1 ... 42 43 44 45 46 47 Следующая > 

* Конечная стоимость зависит от комиссии выбранного вами варианта оплаты и будет указана перед оплатой.