< Предыдущая 1 ... 11 12 13 14 15 Следующая > 

Нормальное распределение

Решения задач с 8612 по 8662

Задача 8612. Полагая, что рост мужчин определенной возрастной группы есть нормально распределенная случайная величина с параметрами m = 173 и σ = 6, найти долю костюмов четвертого роста (176 - 182) см.

Задача 8613. Случайная величина (величина напряжения) имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 35В и дисперсией 49В². Какова вероятность того, что напряжение будет больше 35В? В каких границах будут находиться практически все (99,9%) значения?

Задача 8614. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если её отклонение от номинала не более 0,1 мм. Эти отклонения нормальны с m = 0 и σ = 0,05 мм. Какой процент годных деталей даёт автомат? Какова вероятность того, что из 5 деталей хотя бы 2 годные?

Задача 8615. Производится измерение длины линии на местности без систематических ошибок. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением 0,2 м. Найти вероятность того, что ошибка измерения не будет превосходить по модулю 0,3 м. Найти интервал (-α; α), в который значения ошибок попадают с вероятностью 0,95.

Задача 8616. Колебания времени движения поезда по перегону подчиняются нормальному закону распределения со средним значением α = 16 минут и среднеквадратическим отклонением σ = 2 минуты. Найти вероятность времени хода поезда по перегону более 19 минут.

Задача 8617. Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием 100 ден. ед. и средним квадратическим отклонением 0,5 ден. ед.
а) Найдите вероятность того, что цена на акции не выше 101 ден. ед.
б) Найдите вероятность того, что цена на акции не ниже 102 ден. ед.
в) Найдите вероятность того, что цена на акции от 99 до 101 ден. ед.
г) С помощью правила трёх сигм найти границы, в которых будет находиться текущая цена акции.

Задача 8618. Вес коробок с шоколадом имеет распределение вероятностей с т_х = 1,06; σ_х = 0,03. Оценить долю коробок с весом от 1 до 1,12 и найти ту же долю в предположении, что распределение нормальное.

Задача 8619. Рост взрослого мужчины является случайной величиной распределенной нормально, с математическим ожиданием равным 170 см, дисперсией – 36. Вычислить вероятность того, что наудачу выбранный мужчина будет иметь рост менее 172 см.

Задача 8620. Длина листа берёзы распределена нормально с математическим ожиданием 9 см и средним квадратическим отклонением 1 см. В берёзовом венике 150 листов. С какой вероятностью хотя бы 1 из них имеет длину больше 10 см?

Задача 8621. Имеется 3 нормального распределенные случайные величины со средними 40 см, 60 см и 0 см соответственно. Стандартные отклонения одинаковы и равны 148,28 см. Найти вероятность попадания по крайней мере одной из них на отрезок длиной 16 см, центр которого совпадает с начало координат.

Задача 8622. При многократном наблюдении за нормальной случайной величиной Х оказалось, что 20% значений Х меньше - 10, 10% значений Х больше -2. Найти математическое ожидание Х и среднее квадратическое отклонение Х и ввести их значения в ответе через точку с запятой в указанной последовательности.

Задача 8623. Табачные трубки упаковываются в коробки. Длина трубки есть нормальная случайная величина с параметрами 12,5 см и 0,1 см. Внутренняя длина коробки есть нормальная случайная величина с параметрами 12,75 см и 0,075 см. С какой частотой будут встречаться случаи, когда трубки не поместятся в коробку.

Задача 8624. Автомат заполняет банки кофе. Масса кофе и масса банки распределены нормально с математическими ожиданиями 500 г, 50 г исредними квадратичными отклонениями 8 г, 6 г соответственно. Какова вероятность того, что масса готовой к продаже банки будетменьше 540 г?

Задача 8625. Работа машины, расфасовывающей сахар, подчиняется правилам нормального распределения, со стандартным отклонением 20 граммов. Машина может быть настроена на любой средний вес упаковки с точностью до грамма. В данном случае требуемый вес упаковки составляет 1000 граммов. Чтобы вес товара соответствовал требованиям «Закона о мерах и весах», упаковка сахара должна удовлетворять трем следующим условиям:
А) Средний вес упаковки – не менее 100 граммов.
Б) Вес не более, чем 2,5% упаковок, может быть меньше 975 граммов.
В) Вес не более, чем одной из 10000 упаковок, может быть меньше 950 граммов.
На данный момент машина налажена на средний вес упаковки – 1010 граммов.
Какова доля упаковок, содержащих менее 975 граммов.
Какова доля упаковок, содержащих менее 950 граммов.
Какой новый минимум среднего веса должен быть задан машине при том же стандартном отклонении, чтобы все упаковки продукции соответствовали заданным требованиям.

Задача 8626. Считая рост студента случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами a = 170 см и σ= 25 см, найти:
а) вероятность того, что рост студента будет более 190 см;
б) интервал, в котором с вероятностью 0,95 будет заключен рост студента
в) вероятность того, что рост студента отклонится от математического ожидания менее чем на 10 см.

Задача 8627. Температура воздуха в комнате распределена нормально с параметрами a = 20°C и σ = 4°C. Определить вероятность того, что температура будет:
а) заключена в интервале от 22° до 25°;
б) не менее 30°;
в) отрицательной.

Задача 8628. Пусть доля раскрываемых преступлений является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 0,65 и дисперсией 0,1. Найти вероятность того, что доля раскрываемых преступлений окажется:
а) больше 0,7;
б) меньше 0,5;
в) заключена в интервале (0,67; 0,69).

Задача 8629. Длина заготовки распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 1 м и средним квадратическим отклонением 9 мм. Найти вероятность того, что в партии из 10 деталей: а) не будет ни одной детали длиной более 105 см; б) найдется хотя бы одна деталь длиной от 99 до 101 см. в) будет более 2 деталей длиной свыше 1 м.

Задача 8631. Ошибки прибора распределены нормально с нулевым математическим ожиданием ско, равным 3. Какова вероятность того, что ошибка по модулю превзойдет 6? Какова вероятность того, что это произойдет лишь два раза из пяти измерений?

Задача 8632. Количество баллов, набранных студентами большого курса на экзамене, имеет нормальное распределение со средним 700 и стандартным отклонением 120. Было решено поставить «неудовлетворительно» 5% студентов, набравших наименьшее количество баллов. Какое минимальное количество баллов гарантирует успешную сдачу экзамена?

Задача 8633. При весе некоторого изделия в 10 кг, найдено, что отклонение, по абсолютной величине превосходящее 50 г, встречается в среднем 34 раза из тысячи изделий. Считая, что вес изделия есть случайная величина Х, распределенная по нормальному закону, найти ее среднее квадратическое отклонение σ(X).

Задача 8634. В нормально распределенной совокупности 15% значений случайной величины меньше 12 и 40% значений больше 16,.2. Найти числовые характеристики положения и рассеивания данного распределения.

Задача 8635. Расстояние до объекта измеряют с помощью метода, стандартная ошибка которого равна 44,48 м (систематическая ошибка отсутствует). Найти вероятность того, что измеренное значение расстояния отклоняется от истинного не более, чем на а) 15 м, б) 30 м, в) 60 м.

Задача 8636. Измерительный прибор не имеет систематической ошибки, а средняя квадратическая ошибка равна 75. Какова вероятность, что ошибка измерения не превзойдет по абсолютной величине 45 (закон распределения – нормальный)?

Задача 8637. В нормально распределенной совокупности 14% значений Х меньше 12 и 30% значений Х больше 16. Найти среднее значение и стандартное отклонение данного распределения.

Задача 8638. Внешний диаметр (ВД) пригодных для сборки стальных стержней распределен по нормальному закону с параметрами а=2,3 см, σ=0,06 см. Пределы допуска 2,31±0,10 см. Изделие с ВД ниже нижнего предела считается ломом, тогда как при превышении ВД верхнего предела изделие можно доработать. Каков процент лома? Сколько процентов продукции нуждаются в доработке?

Задача 8639. На выборах в региональные парламенты субъектов федерации количество кандидатов на одно место в разных округах является случайной величиной с нормальным законом распределения. Подсчитано, что 10 и более кандидатов было зарегистрировано в 30% округов, а 12 и более кандидатов – в 10% округов. Вычислить математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение нормального распределения.

Задача 8640. Пусть $Ф(\mathit{u})$ будет функцией распределения стандартного нормального закона $\mathcal{N}(0;1)$. Известно, что функция $Ф(\mathit{u})$ не является элементарной, то есть, интеграл не может быть сведен к табличным и быть композицией элементарных функций. Находить значения $Ф(\mathit{u})$ мы будем по таблице. Часто в таблицах указывают значения только для $\mathit{u}>0$. Чтобы найти значения для $\mathit{u}<0$ мы будем пользоваться равенством $Ф\left(-\mathit{u}\right)=1-Ф\left(\mathit{u}\right), \mathit{u}>0$. Докажите это равенство.

Задача 8641. Масса яблока, средняя величина которой равна 100 г, является нормально распределенной случайной величиной со средним квадратичным отклонением 10г. Найти вероятность того, что взятое наугад яблоко имеет отклонение от математического ожидания по абсолютной величине не более 2 г.

Задача 8642. Размер детали подчинен нормальному закону с параметрами $\mathit{a}=33$ микрона и $\mathit{{\sigma}}=4$ микрона. Поле допуска - от 20 микронов до 40 микронов. Найти вероятность брака.

Задача 8643. Известно, что распределение количества баллов, набранных во время решения задач, можно аппроксимировать нормальным распределением с среднеквадратичным отклонением и математическим ожиданием в 8 и 25 баллов соответственно. Проходной балл — 33.
Какова вероятность, что экзамен будет сдан успешно? Ответ дайте в процентах, округлите до целых.

Задача 8644. Завод изготавливает арматурные стержни, длина которых является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 3.2 м и средним квадратическим отклонением 0.03 м. Найти вероятность того, что длина наугад взятого стержня будет не менее 3.15 м.

Задача 8645. Случайная величина $\mathit{X}$ распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 40, и дисперсией, равной 200. Вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал $\left[30;80\right].$

Задача 8646. В нормально распределенной совокупности 19% значений $\mathit{X}$меньше 15 и 49% значений $\mathit{X}$ больше 21. Найти параметры этой совокупности.

Задача 8647. Известно что средний вес пачки сахара 1кг. Известно что 20% из всех пачек весят меньше 950г. Найти долю пачек, вес которых больше 1,03кг.

Задача 8648. Известно что средний вес пачки муки 1 кг, а среднеквадратичное отклонение веса 35 г. Какова вероятность, что у выбранной пачки вес будет больше 1,01 кг?

Задача 8649. На основе многолетних наблюдений установлено, что масса тыквы сорта " Солнечная мечта " имеет нормальный закон распределения. Известно также что средняя (ожидаемая) масса тыквы этого сорта равна 3 кг, а среднее квадратичное отклонение равно 250 г.
Найти:
а) вероятность того, что масса наудачу выбранной тыквы отклоняется от своего математического ожидания не более чем на 300 г (по абсолютной величине) и показать ее на графике;
б) вероятность того, что масса наудачу выбранной тыквы будет в пределах от 2,5 кг до 3,1 кг и показать на графике;
в) какую массу тыквы может гарантировать с вероятностью 0,92?

Задача 8650. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением 20 мм и нулевым математическим ожиданием. Найти вероятность того, что из 3 независимых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 4 мм.

Задача 8651. Производится стрельба по цели из артиллерийского орудия. Принимая, что дальность полёта снаряда имеет нормальное распределение с дисперсией, равной 900, рассчитать, какой процент выпускаемых снарядов будет иметь перелёт от 20 до 50 метров.

Задача 8652.
Заданы математическое ожидание ${\mathit{a}}_{\mathit{x}}=20$ и среднее квадратическое отклонение $\mathit{{\sigma}}=2$ нормально распределенной случайной величины $\mathit{X}$. Найти: 1) вероятность того, что $\mathit{X}$ примет значение, принадлежащее интервалу $\left(16;25\right)$; 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения значения величины от математического ожидания окажется меньше 4.

Задача 8653. Шарики и подшипники бракуются следующим образом: если шарик проходит через отверстие диаметра ${\mathit{d}}_{2}$, но не проходит через отверстие диаметра ${\mathit{d}}_{1}<{\mathit{d}}_{2}$, то шарик считается годным. В противном случае шарик бракуется.
Считается, что диаметр шарика распределён по нормальному закону с параметрами $\mathit{a}, \mathit{{\sigma}}:$
$\mathit{a}=\frac{{\mathit{d}}_{1}+{\mathit{d}}_{2}}{2}, \mathit{{\sigma}}=\mathit{{\alpha}}\left({\mathit{d}}_{2}-{\mathit{d}}_{1}\right), 0<\mathit{{\alpha}}<\frac{1}{2}$
$\mathit{{\sigma}} $определяет точность изготовления шариков. Как следует выбрать $\mathit{{\alpha}}$, чтобы брак составлял не более 2% всей продукции?

Задача 8654.
Ошибка измерения диаметра цилиндрической детали подчиняется нормальному закону, причем математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение равны соответственно 5мкм и 10 мкм. Определить вероятность того, что значение диаметра будет отклоняться по абсолютной величине от истинного не более чем на 15мкм.

Задача 8655. Систематическая ошибка удержания высоты самолетом +20 м, а случайная нормально распределенная ошибка характеризуется средним квадратичным отклонением, равным 50 м. Для полета самолета отведен коридор высотой 2 x100 м. Какова вероятность, что самолет будет лететь ниже коридора, если самолету задана высота, соответствующая середине коридора.

Задача 8656. Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 48 у.е., и стандартным отклонением, равным 6. Определите вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена была ниже 60 за акцию.

Задача 8657. Для стандартной нормальной случайной величины $\mathit{Z}{\sim}\mathit{N}\left(0,1\right)$ найдите значение $\mathit{P}\left(\mathit{Z}>0.513\right)$, округленное до тысячных.

Задача 8658. Найдите значение $\mathit{P}\left({\mathit{X}}^{3}<125\right)$, округленное до тысячных, если $\mathit{X}{\sim}\mathit{N}\left(1;9\right)$. Подсказка: не ищите функцию распределения ${\mathit{X}}^{3}$, а используйте вероятность нужного события и функцию нормального распределения.

Задача 8659. При игре в техасский покер каждому игроку раздаются две карты из колоды в случайном порядке. Если обе карты имеют одинаковый ранг, это называется карманная пара. Пусть игрок играет 170 партий техасского покера, а случайная величина $\mathit{Y}$ - количество раздач, в которых игрок получит карманную пару. Используйте нормальное приближение (с поправкой на непрерывность), чтобы приближенно вычислить значение $\mathit{P}\left(\mathit{Y}<\mathit{E}\left(\mathit{Y}\right)\right)$.

Задача 8660. Завод производит железные стержни, диаметр которых $\mathit{X}$ можно рассматривается как нормально распределенную случайную величину со средним значением $\mathit{{\mu}}=50$ мм и стандартным отклонением $\mathit{{\sigma}}=1.5$ мм. Стержень считается качественным, если его диаметр отклоняется от заданного значения 50 мм не более чем на величину $\mathit{a}$. Каково предельно допустимое значение $\mathit{a}$, если в среднем должно быть произведено не более 6% брака?

Задача 8661. Известно, что при стандартной эксплуатации станков определенного типа время работы между двумя ремонтами является случайной величиной, подчиняющейся нормальному распределению со средним значением $\mathit{a}=15$ месяцев и среднеквадратическим отклонением $\mathit{{\sigma}}=6$ месяцев. Согласно инструкции работник получает премию за экономию, если его станок не нуждается в ремонте более 19 месяцев.
Какова вероятность получить премию при стандартной эксплуатации станка? Как необходимо изменить инструкцию, чтобы данная вероятность составила не более 0.06?

Задача 8662. Текущая цена акции может быть предсказана с помощью нормального закона распределении со средним значением, равным $\mathit{a}=24$ денежных единиц (ден. ед.) и средним квадратическим отклонением равным $\mathit{{\sigma}}=1$ (ден. ед.).
1) Напишите выражение для плотности распределения вероятностей такого закона.
2) Постройте график функции $\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)$.
3) Найдите вероятность того, что ценовые колебания данной акции:
а) удержатся в границах (20;26) (ден. ед.);
в) не превзойдут 25 (ден .ед.);
в) будут отличаться от средней цены на величину не превышающую 2 (ден. ед.).
4) Укажите пределы, в которых будет находиться цена акции, чтобы вероятность невыхода за эти пределы составила величину равную 0.84.
5) Найдите границы вариации цены акции при помощи правила трех сигм.

< Предыдущая 1 ... 11 12 13 14 15 Следующая > 

* Конечная стоимость зависит от комиссии выбранного вами варианта оплаты и будет указана перед оплатой.