< Предыдущая 1 ... 12 13 14 15 Следующая > 

Нормальное распределение

Решения задач с 8663 по 8713

Задача 8663. Пусть $\mathit{X}$ - нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием $\mathit{a}=16$ и со средним квадратическим отклонением $\mathit{{\sigma}}=3$. Найдите $\mathit{P}\left(11<\mathit{X}<20\right)$.

Задача 8664. Случайная величина $\mathit{{\xi}}$ имеет нормальное распределение с математическим ожиданием $\mathit{a}=15$ и дисперсией ${\mathit{{\sigma}}}^{2}=400$. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который равна $\mathit{p}=0.762$.

Задача 8665. Каким должно быть среднее квадратическое отклонение ${\mathit{{\sigma}}}_{\mathit{X}},$чтобы параметр детали $\mathit{X}$ отклонялся от номинала ${\mathit{m}}_{\mathit{X}}=20$ по модулю не более, чем на 1% номинала с вероятностью 0.95? Предполагается, что случайная величина $\mathit{X}$ распределена нормально.

Задача 8666. Автомат наполняет бутылки с шампунем. В среднем в каждую бутылку наливают 500мл. Какое стандартное отклонение у автомата по наполнению, если вероятность, что бутылка содержит от 510 до 515 мл, составляет 1%?

Задача 8667. Статистические данные в городе N показали, что 84,1% трудоспособного населения города имели ежемесячный доход меньше 40 тыс. рублей, а 74,8% получали больше 15 тыс. рублей в месяц. Считая, что величина дохода имеет нормальное распределение, найдите долю трудоспособного населения в городе N, которая получала доход от 20 до 30 тыс. рублей в месяц.

Задача 8668. Статистические данные в городе N показали, что 69,1% трудоспособного населения города имели ежемесячный доход меньше 50 тыс. рублей, а 77,3% получали больше 25 тыс. рублей в месяц. Считая, что величина дохода имеет нормальное распределение, найдите долю трудоспособного населения в городе N, которая получала доход от 30 до 45 тыс. рублей в месяц.

Задача 8669. Используя таблицу, выразить через $\mathit{{\sigma}}$ расстояние между квантилями (децилями) ${\mathit{x}}_{0.1}$ и ${\mathit{x}}_{0.9}$ для нормального распределения $\mathit{N}\left(\mathit{m},\mathit{{\sigma}}\right)$.

Задача 8670. Дневная добыча угля в некоторой шахте распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 785 т и стандартным отклонением 60 т. Найдите вероятность того, что в определённый день будут добыты, по крайней мере, 800 т угля. Определите долю рабочих дней, в которые будет добыто от 750 т до 850 т угля. Найдите вероятность того, что в данный день добыча угля окажется ниже 665 т.

Задача 8671. Инженерный колледж американского университета набирает студентов из числа выпускников средней школы, которые по стандартному тесту АСТ для поступающих в колледжи имеют не менее 26 баллов. Набранные в результате тестирования выпускников баллы можно считать нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 22 балла и с.к.о. 2 балла. Определите процент выпускников средней школы, которые являются потенциальными студентами инженерного колледжа. Найдите процент выпускников школы, которые не будут приняты в инженерный колледж, если туда не принимают тех, у кого количество баллов меньше 17.

Задача 8672. Радиодальномер систематических ошибок не имеет, а случайные ошибки $\mathit{X}$ распределены по нормальному закону и с вероятностью 0.905 не выходят за пределы $±16.7$ м.
А. Каковы практически достоверные границы ошибки измерения, если за вероятность практической достоверности принимается 0.9973?
Б. Сколько необходимо произвести измерений, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.85, ошибка хотя бы одного из них не превосходила по абсолютной величине 5 м?

Задача 8673. Станок штампует гайки. Внутренний диаметр гайки $\mathit{X}$ – нормально распределенная СВ с математическим ожиданием 7 мм (проектный диаметр). Найти вероятность того, что внутренний диаметр наудачу взятой гайки находится в пределах от 6,98 мм до 7,01 мм, если
а) фактически диаметр произведенных гаек колеблется от 6,97 мм до 7,03 мм;
б) диаметр наудачу взятой гайки с вероятностью 0,95 заключен в пределах от 6,9804 до 7,0196 мм.
Сколько гаек необходимо взять, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,8, отклонение внутреннего диаметра от проектного хотя бы для одной из этих гаек не превосходило 0,001 мм?
Каким должен быть допуск, чтобы с вероятностью не более 0,003 получилась гайка с внутренним диаметром вне поля допуска?

Задача 8674. Завод выпускает трубы. Внутренний диаметр трубы можно считать нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием (проектный диаметр) 90 мм и средним квадратическим отклонением 0.5 мм. Трубы распределяются по сортам (первый, второй и третий) в зависимости от абсолютной величины отклонения внутреннего диаметра от проектного. В среднем на 10000 труб приходится 2812 первого сорта, 3400 второго сорта и 3788 третьего сорта.
Найти интервалы, которым принадлежат внутренние диаметры труб первого, второго и третьего сортов. Найти интервал с центром в точке $\mathit{a}=90$ мм, в котором с вероятностью 0.9973 заключены внутренние диаметры труб (независимо от сорта).

Задача 8675. Найти вероятность попадания в заданный интервал $\left(5;9\right)$ нормально распределенной случайной величины, если известны ее математическое ожидание $\mathit{m}=6$ и среднее квадратическое отклонение $\mathit{{\sigma}}=3$.

Задача 8676.
Время, которое ученица тратит на то, чтобы добраться от дома до школы, распределено по нормальному закону со средним 20 минут и стандартным отклонением 5 минут. Оцените долю случаев, в которых ученица будет опаздывать к началу занятий, если дом она покидает за 30 минут до начала занятий. Будь Вы на ее месте, за какое время до начала первого урока Вы бы покидали дом?

Задача 8677.
Архитектор университетского спортзала хочет сделать внутренние двери достаточно высокими, чтобы 95% муж чин проходили бы в дверь с зазором не менее одного фута (1 фут равен 12 дюймам). Предполагая, что рост мужчин нормально распределен со средним 70 дюймов и стандартным отклонением 3 дюйма, на сколько высокими следует архитектору сделать двери?

Задача 8678.
Точное прогнозирование объемов продаж играет важную роль в поддержании эффективности производства и распространения продукта. Тем не менее, Вы обнаружили, что прогнозы Вашего аналитика часто оказываются довольно неточными. Обработав ее прогнозы за прошедшие несколько лет, Вы находите, что ее ошибки прогнозирования нормально распределены со средним 0 процентов и стандартным отклонением 10 процентов.
а) Если аналитик делает один прогноз, то какова вероятность того, что ее оценка окажется неточной более чем на 15 процентов?
b) Частью системы материального стимулирования точных прогнозов, которую Вы собираетесь внедрить, является получение бонуса в размере $1000 в случае точного прогноза : аналитик получит бонус, если абсолютное значение ее ошибки не превысит $\mathbf{c}$ процентов. Вы хотите выбрать пороговое значение $\mathbf{c}$ так, что при текущем уровне точности всего лишь 5% ее прогнозов заслуживало бы получение бонуса. Какое значение $\mathbf{c}$ Вы должны выбрать?

Задача 8679. Систематической ошибки прибор не имеет ($\mathit{M}\left(\mathit{X}\right)=0$). Случайная ошибка подчинена нормальному закону при $\mathit{{\sigma}}\left(\mathit{X}\right)=60$ м. Сколько необходимо произвести измерений, чтобы с вероятностью более 0.9 ошибка хотя бы одного из измерений не превосходила по абсолютной величине 7.5 м?

Задача 8680. Важной характеристикой качества упаковки прохладительных напитков является количество напитка в бутылке (просто представьте, что могла бы сделать Пепси, если бы бутылки Кока -Колы были иногда лишь наполовину наполнены). Если процесс наполнения функционирует в обычном режиме, то количество унций, вливаемых в 12-унциевую бутылку, распределено по нормальному закону с о средним 12.00 унций и стандартным отклонением 0.04 унции. Бутылки, в которых содержится менее 11.90 унций, не проходят контроль качества и продаются с существенной скидкой.
(a) Какова вероятность того, что случайно выбранная бутылка не пройдет контроль качества?
(b) Если система наполнения дает сбой, то распределение смещается к нормальному со средним 11.95 унций и стандартным отклонением 0.2 унций. Какова в данном случае вероятность того, что случайно выбранная бутылка не пройдет контроль качества? Если 20 000 бутылок были наполнены при помощи неправильно работающей системы, то чему равна вероятность того, что более 8 000 из них не пройдут контроль качества?

Задача 8681.
Длина изготовляемой автоматом детали представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с параметрами $\mathit{{\mu}}=10$ см и $\mathit{{\sigma}}=0.2$ см.
а) Найти вероятность брака, если допустимые размеры детали должны лежать в интервале $\left(10-0.3;10+0.3\right)$.
б) Какую точность длины изготовленной детали можно гарантировать с вероятностью 0,9758?

Задача 8682. Глубина моря измеряется прибором, систематическая ошибка которого равна нулю, а случайная распределена по нормальному закону. Найти среднеквадратическое отклонение, если при определении глубины ошибка с вероятностью 0.95 составит не более 15 м.

Задача 8683.
Параметр $\mathit{X}$ детали распределен нормально с ${\mathit{m}}_{\mathit{X}}=2$, равным номиналу, и ${\mathit{{\sigma}}}_{\mathit{X}}=0.012$. Найти вероятность того, что отклонение $\mathit{X}$ от номинала по модулю не превысит 1 % номинала.

Задача 8684. Измеряемая случайная величина $\mathit{{\xi}}$ подчиняется нормальному закону $\mathit{N}\left(\mathit{a}, \mathit{{\sigma}}\right)$, где $\mathit{a}=2.5, \mathit{{\sigma}}=1.2$.
1. Найти симметричный относительно $\mathit{M}\mathit{{\xi}}$ интервал, в который с вероятностью $\mathit{p}$ попадет измеренное значение $\mathit{x}$. Рассмотреть следующие числовые значения: ${\mathit{p}}_{1}=0.5$; ${\mathit{p}}_{2}=0.9544$; ${\mathit{p}}_{3}=0.9974$.
2. Найти вероятности следующих событий: $\mathit{{\xi}}<\mathit{a}+1.30; 0.46{\leq}\mathit{{\xi}}<4.54$.

Задача 8685. На правую чашку весов положен груз, вес которого подчинен нормальному закону распределения с математическим ожиданием $\overline{\mathit{x}}=20$ кг и средним квадратическим отклонением $\mathit{{\sigma}}=1.5$ кг. На левой чашке весов находится другой груз, вес которого равномерно распределен в пределах от 0 до 50 кг. Определить вероятность того, что правая чашка перевесит левую. Сравнить полученный результат с тем, который получился бы в предположении, что груз правой чашки не случаен, а в точности равен 20 кг.

Задача 8686. Считая рост взрослых мужчин случайной величиной $\mathit{X},$ распределенной по нормальному закону: $\mathit{X}{\sim}\mathit{N}(175;10)$, найти плотность вероятностей, функцию распределения. Определить вероятность того, что ни один из 3 наудачу выбранных мужчин не будет иметь рост менее 180 см.

Задача 8687.
Номинальное значение толщины $\mathit{X}$ установочного кольца, вытачиваемого на токарном автомате, равно ${\mathit{m}}_{\mathit{X}}=10$ мм. Стандартное отклонение равно 0,15 мм. Предполагается, что случайная величина $\mathit{X}$ распределена нормально. Найти вероятность того, что изготовленное кольцо будет иметь толщину, отличающуюся от номинала ${\mathit{m}}_{\mathit{X}}$ более, чем на 3 % номинала.

Задача 8688. Программа обучения новой миссии предполагает, что вы быстро оцениваете некоторые вероятности на основе конкретной таблицы нормального распределения.
(a) Стрельба. Вес пистолета $\mathit{X} {\sim} \mathit{N}\left(15, {3}^{2}\right)$ в граммах. Вычислить вероятность $\mathit{P}\left(13<\mathit{X}<16\right)$.
(b) Демонстрация уверенности. Масса пули $\mathit{Y} {\sim} \mathit{N}\left(1, {2}^{2}\right)$ в граммах. Вычислить вероятность $\mathit{P}\left(\mathit{Y}>2.5\right)$.
(c) Эффективное слушание. Для другой случайной величины $\mathit{Z} {\sim} \mathit{N}\left(2, 1\right)$ найти $\mathit{t}$ из условия $\mathit{P}\left(0<\mathit{Z}<\mathit{t}\right)=0.8$.
(d) Самоконтроль. Вам сказали, что $\mathit{C}\mathit{o}\mathit{r}\mathit{r}\left(\mathit{X},\mathit{Y}\right)=-0.8$. Тогда оцените вероятность того, что вес пистолета $\mathit{X}$ и 6 пуль $\mathit{Y}$ превышает 33 грамма.
(e) Понимание миссии. Что такое $\mathit{E}\left(\left(\mathit{Z}-1\right)\left(\mathit{Z}+2\right)\right)$?

Задача 8689. Прибор, контролирующий напряжение, имеет случайную ошибку в показаниях, распределенную по нормальному закону. Систематическая ошибка отсутствует. Случайная ошибка по абсолютной величине не превосходит 15 В с вероятностью 0.8. Найти среднюю квадратическую ошибку.

Задача 8690.
Дана с.в. $\mathit{X}$, распределенная по нормальному закону $\mathit{N}\left(3;1.5\right)$.$$
3.1. Запишите функцию плотности распределения с.в. $\mathit{X}$ и постройте ее график. Укажите на графике координаты вершины и точек перегиба.
3.2. Пользуясь таблицами функции Лапласа, найдите вероятности попадания св. $\mathit{X}$ в данные интервалы: а) $0<\mathit{X}<3;$ б) $\mathit{X}>2$.
3.3. Для случайной величины $\mathit{Y}=2\mathit{X}-3$ запишите плотность распределения, используя теорему о линейном преобразовании. Проверьте параметры полученного распределения по свойствам числовых характеристик.

Задача 8691. Систолическое давление у женщин, страдающих гипертонией имеет, согласно оценкам, среднее значение 161 мм и стандартное отклонение 10 мм. В предположении, что систолическое давление является нормальной случайной величиной, оцените вероятность того, что давление находится между 155 и 179 мм ртутного столба. Какое количество женщин из 1000 имеет давление в этом интервале?

Задача 8692. Известно, что рост человека является нормально распределенной случайной величиной. В результате выборочного обследования средний рост мужчины оценен как 177 см, а дисперсия оказалась равной 50. Записать выражение плотности вероятности и функцию распределения случайной величины - роста мужчины. Найти вероятность того, что наудачу выбранный мужчина будет иметь рост: а) не менее 183 см, б) не более 180 см.

Задача 8693.
Пусть случайная величина $\mathit{X}$ имеет нормальное (гауссовское) распределение $\mathit{N}\left(\mathit{a},{\mathit{{\sigma}}}^{2}\right)$, величины $\mathit{a}$ и $\mathit{{\sigma}}>0$ неизвестны. Заданы вероятности $\mathit{P}\left(\mathit{X}<-1\right)=0.01;\mathit{P}\left(\mathit{X}>1\right)=0.01$. Найти $\mathit{E}\mathit{X}$.

Задача 8694. Доказать, что для функции распределения нормального закона $Ф$ выполнено тождество $Ф\left(\mathit{t}\right)+Ф\left(-\mathit{t}\right)=1$.

Задача 8695.
Случайные ошибки измерения дальности до неподвижной цели подчинены нормальному закону с математическим ожиданием 7 м и среднеквадратическим отклонением 8 м. Определить вероятность того, что измеренное значение дальности отклонится от истинного не более, чем на 15 м.

Задача 8696. Время движения автобуса по 30-му маршруту подчинено нормальному закону распределения со средним значением 42 минуты и среднеквадратическим отклонением 5 минут. Найти вероятность того, что от СРВ до конечной Северо-Востока пассажир доедет в течение 40 минут.

Задача 8697. Станок-автомат изготовляет валики, диаметр которых $\mathit{X}$ есть нормальная случайная величина с $\mathit{m}=8$ мм и $\mathit{{\sigma}}=0.06$ мм. Найти вероятность того, что диаметр окажется меньше 8 мм. Найти диапазон равных отклонений от требуемого значения диаметра, в котором с вероятностью 0.997 будут находиться диаметры изготовленных валиков.

Задача 8698. Предполагается, что живая масса телок (кг) распределена по нормальному закону с параметрами $\mathit{a}=323$ и $\mathit{{\sigma}}=31.4$. Требуется определить: 1) процент животных, для которых живая масса будет заключена в пределах от 300 до 325 кг; 2) диапазон изменения живой массы (по правилу «трех сигм»).

Задача 8699. Сотрудники мужского пола финансового учреждения были обследованы на предмет физических характеристик и обнаружили, что средняя длина стопы составляет 28 см, со стандартным отклонением 2 см. Предполагая нормальное распределение для длины стопы, найдите вероятность того, что длина стопы конкретного сотрудника-мужчины более 18 см.

Задача 8700. Значения теста IQ (коэффициента интеллекта) Стэнфорда – Бине распределены приблизительно по нормальному закону с математическим ожиданием $\mathit{a}=100$ и средним квадратичным отклонением $\mathit{{\sigma}}=16$. Найти вероятность того, что коэффициент интеллекта у случайно отобранного для тестирования человека окажется в пределах от 80 до 120.

Задача 8701. Допуск на размер детали, изготавливаемой автоматом, составляет 0.58 мм. Случайные отклонения размера подчиняются нормальному закону с математическим ожиданием 0.06 мм от середины поля допуска и среднеквадратическим отклонением 0.08 мм. Определите процент деталей, попадающих в допуск.

Задача 8702. Случайная величина $\mathit{X}$ нормально распределена с параметрами $\mathit{m}, \mathit{{\sigma}}$. Пользуясь таблицей функции распределения $Ф\left(\mathit{z}\right)$ стандартизированной нормально распределенной случайной величины, вычислить вероятности того, что абсолютные значения отклонений $\mathit{X}$ от ее математического ожидания будут меньше, чем $\mathit{{\sigma}}, 2\mathit{{\sigma}}$ и $3\mathit{{\sigma}}$.

Задача 8703. Измерительный прибор имеет систематическую ошибку 5 м и стандартное отклонение 74.14 м. Какова вероятность того, что ошибка измерения не превзойдет по абсолютной величине 5 м?

Задача 8704.
Случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 5 и стандартным отклонением 0,9. Найти:
a) Вероятность того, что эта величина примет значение в пределах от 4 до 7.
b) Вероятность того, что значение величины отличается от математического ожидания не более чем на 2.
c) В каких границах следует ожидать значение величины, чтобы вероятность не выйти за эти границы была равна 0,95?

Задача 8705. Случайные ошибки измерения величины $\mathit{{\xi}}$ (дальности до неподвижной цели) подчинены нормальному закону распределения с математическим ожиданием ${\mathit{m}}_{\mathit{{\xi}}}=3$ и средним квадратическим отклонением ${\mathit{{\sigma}}}_{\mathit{{\xi}}}=5$.
Определить вероятности того, что:
1) $\left|\mathit{{\xi}}-{\mathit{m}}_{\mathit{{\xi}}}\right|{\leq}8/3$;
2) при трех независимых измерениях ошибка хотя бы одного измерения не превзойдет по абсолютной величине 8/3.

Задача 8706. Номинальное значение сопротивления резистора ${\mathit{m}}_{\mathit{X}}=50 кОм$ (килоом). Известно, что 80% от общего количества всех изготовляемых на данном производстве резисторов имеют отклонение сопротивления от номинала по модулю не более чем на 10%. Найти среднее квадратическое отклонение сопротивления $\mathit{X}$ резистора от номинала, предполагая, что $\mathit{X}-$ случайная величина, распределённая нормально.

Задача 8708. Среднее количество осадков за июнь 19 см. Среднеквадратическое отклонение количества осадков 5 см. Предполагая, что количество осадков – нормально-распределённая случайная величина, найти вероятность того, что будет не менее 13 см осадков. Какой уровень превзойдёт количество осадков с вероятностью 95%?

Задача 8709. Масса яблока – нормально-распределённая случайная величина со средним значением 170 гр. и средним квадратическим отклонением 25 гр. Какой процент яблок имеет массу более 120 гр.? Какую массу превосходят 95 процентов яблок?

Задача 8710. Из многолетнего опыта известно, что стоимость списываемого в течение года оборудования на дочернем предприятии является с.в., подчиняющейся нормальному закону распределения со среднем значением 121200 руб. и стандартным отклонением 2600 руб. Головным предприятием составлено Положение, согласно которому на дочернее предприятие посылается комиссия по проверке, если стоимость списанного оборудования превышает 127000 руб.
Какова вероятность того, что комиссия по проверке будет послана на предприятие? Как надо изменить Положение, чтобы данная вероятность была не более 0,03?

Задача 8711. При средней массе некоторого изделия 8,4 кг обнаружено, что отклонение по абсолютному значению не преобладает над 50 г, встречается в среднем три раза на каждые 100 изделий. Допускается, что масса изделий распределена по нормальному закону. Определить её среднеквадратическое отклонение.

Задача 8712. Стрельба ведётся из точки O вдоль прямой OX. Средняя дальность полёта снаряда равна $\mathit{a}$. Предполагая, что дальность полёта снаряда распределена по нормальному закону со средним квадратическим отклонением 80 м, найти, какой процент выпускаемых снарядов даст перелёт от 120 до 160 м.

Задача 8713. Известно, что для человека pH крови является случайной величиной, имеющей нормальное распределение с генеральным стандартным отклонением равным 0,025 и генеральным средним значением равным 7,4. Найти вероятность того, что pH крови отдельно взятого человека находится в пределах от 7,36 до 7,44.

< Предыдущая 1 ... 12 13 14 15 Следующая > 

* Конечная стоимость зависит от комиссии выбранного вами варианта оплаты и будет указана перед оплатой.